☆ Convergence des suites adjacentes

On dit que deux suites \(\left(u_{n}\right)\)  et `\left(v_{n}\right)`  sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(v_{n}-u_{n}\right)=0\) .

L'objectif de cet exercice est de démontrer que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

On suppose que \(\left(u_{n}\right)\)  est croissante, `\left(v_{n}\right)`  décroissante et \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(v_{n}-u_{n}\right)=0\) .

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel `n` , \(u_n\leqslant v_0\) .
    b. En déduire que \(\left(u_{n}\right)\)  est convergente.

2. Démontrer que `\left(v_{n}\right)`  est convergente.

3. Conclure.

4. Application
    a. Démontrer que les suites  \(\left(u_{n}\right)\)  et `\left(v_{n}\right)`  définies pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\)  par  \(u_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\)  et \(v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n \times n!}\)  sont adjacentes.
    b. Que peut-on en déduire pour la suite \(\left(\displaystyle \sum _{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\right)\)  ?